Question

CMR : Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì \(a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+c^2\left(a+b\right)⋮6\)

Ai hiair được thì em phục sác đất luôn ý

Answer 1

Ta có:

a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b)

= a²b + a²c + b²a + b²c + c²a + c²b

= (a²b + b²a) + (a²c + c²a) + (b²c + c²b)

= ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c)

= ab(a + b + c) + ac(a + b + c) + bc(a + b + c) - abc - abc - abc

= (a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc

Do \(a+b+c⋮6\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)⋮6\) (1)

Do a + b + c chia hết cho 6 nên trong 3 số này tồn tại ít nhất 1 số chẵn

\(\Rightarrow3abc⋮6\) (2)

Từ (1) và (2) => a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b) \(⋮6\left(đpcm\right)\)