Ôn tập phép nhân và phép chia đa thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trịnh Hương Giang

CMR: \(n^6+n^4-2n^2\) chia hết cho 72 \(\forall n\)

Luân Đào
3 tháng 1 2019 lúc 15:33

Đặt \(Q=n^6+n^4-2n^2\)

\(\Rightarrow Q=n^2\left(n^4+n^2-2\right)\)

\(=n^2\left[\left(n^4-1\right)+\left(n^2-1\right)\right]\)

\(=n^2\left[\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)+\left(n^2-1\right)\right]\)

\(=n^2\left(n^2-1\right)\left(n^2+2\right)\)

\(=n\cdot n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+2\right)\)

* Nếu n chẵn. Đặt n = 2k (với k thuộc Z)

\(\Rightarrow Q=4k^2\left(2k+1\right)\left(2k-1\right)\left(4k^2+2\right)\)

\(=4k^2\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)\cdot2\left(2k^2+1\right)\)

\(=8k^2\left(2k^2+1\right)\left(2k+1\right)\left(2k-1\right)⋮8\)

* Nếu n lẻ. Đặt n = 2k+1 (với k thuộc Z)

\(\Rightarrow\)\(Q = (2k + 1)^2 .2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2) \)

\(= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3) \)

\(k\left(k+1\right)⋮2\) \(\Rightarrow Q⋮8\)

Vậy \(Q⋮8\)

** Nếu \(n⋮3\)

\(\Rightarrow n^2⋮9\Rightarrow Q⋮9\)

** Nếu \(n⋮̸3\)

\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\)

\(n⋮̸3\Rightarrow n^2+2⋮3\)

\(\Rightarrow Q⋮9\)

\(\left(8;9\right)=1\Rightarrow Q⋮72\)


Các câu hỏi tương tự
Kudo shinichi
Xem chi tiết
Phạm Quyên
Xem chi tiết
Trịnh Hương Giang
Xem chi tiết
Nguyễn Mary
Xem chi tiết
Trang Nguyễn
Xem chi tiết
Lê Thị Xuân Niên
Xem chi tiết
Nguyễn Mai Anh
Xem chi tiết
Linh Ngô
Xem chi tiết
Bối Vy Vy
Xem chi tiết