Question

CMR \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\forall a,b\ge0\)

Áp dụng kết quả trên cmr: \(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le1\)

Với điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}\forall a,b\ge0\\abc=1\end{matrix}\right.\)

Answer 1

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

\(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)

Tương tự \(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{a}{a+b+c}\); \(\frac{1}{a^3+c^3+1}\le\frac{b}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế:

\(\sum\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)