Đại số lớp 7

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lưu Phương Thảo

CMR a/ nếu 2^n - 1 chia hết 9 thì 2^n - 1 chia hết cho 7

b/Tìm số dư của phép chia 2^n-1 cho 21

Akai Haruma
13 tháng 8 2017 lúc 16:18

Lời giải:

a) Vì \(2^6\equiv 1\pmod 9\) nên ta sẽ xét modulo $6$ của $n$

+ Nếu \(n=6k\) thì \(2^{n}-1=(2^6)^k-1\equiv 1^k-1\equiv 0\pmod 9\)

+ Nếu \(n=6k+1\Rightarrow 2^n-1=2.2^{6k}-1\equiv 2-1\equiv 1\pmod 9\)

+ Nếu \(n=6k+2\Rightarrow 2^{n}-1=2^2.2^{6k}-1\equiv 2^2-1\equiv 3\pmod 9\)

+ Nếu \(n=6k+3\Rightarrow 2^n-1=2^3.2^{6k}-1\equiv 2^3-1\equiv 7\pmod 9\)

+ Nếu \(n=6k+4\Rightarrow 2^n-1=2^4.2^{6k}-1\equiv 2^4-1\equiv 6\pmod 9\)

+ Nếu \(n=6k+5\Rightarrow 2^n-1=2^5.2^{6k}-1\equiv 2^5-1\equiv 4\pmod 9\)

Như vậy, số $n$ thỏa mãn \(2^n-1\vdots 9\) là số có dạng \(6k\)

Ta cũng có \(2^6\equiv 1\pmod 7\) nên

\(2^n-1=2^{6k}-1\equiv 1-1\equiv 0\pmod 7\)

Do đó, \(2^n-1\vdots 7\) (đpcm)

b) Tương tự phần a, để ý rằng \(2^6\equiv 1\pmod {21}\)

Ta xét modulo $6$ cho $n$ sẽ thu được những kết quả sau:

\(n=6k \Rightarrow 2^n-1\equiv 0\pmod {21}\)

\(n=6k+1\Rightarrow 2^n-1\equiv 1\pmod {21}\)

\(n=6k+2\Rightarrow 2^n-1\equiv 3\pmod {21}\)

\(n=6k+3\Rightarrow 2^n-1\equiv 7\pmod {21}\)

\(n=6k+4\Rightarrow 2^n-1\equiv 15\pmod {21}\)

\(n=6k+5\Rightarrow 2^n-1\equiv 10\pmod {21}\)


Các câu hỏi tương tự
Đặng Thùy Trâm
Xem chi tiết
Trà My Phạm
Xem chi tiết
Trà My Phạm
Xem chi tiết
Sakura Nguyen
Xem chi tiết
Lưu Phương Thảo
Xem chi tiết
hoàng thị anh
Xem chi tiết
An Trịnh Hữu
Xem chi tiết
Bùi Lê Trâm Anh
Xem chi tiết
Phạm Bảo Ngọc
Xem chi tiết