Lời giải:
Ta có:
\(A=a(a+b)(a+c)(a+b+c)+b^2c^2=[a(a+b+c)][(a+b)(a+c)]+b^2c^2\)
\(=(a^2+ab+ac)(a^2+ab+ac+bc)+b^2c^2\)
\(=(a^2+ab+ac)^2+bc(a^2+ab+ac)+b^2c^2\)
Đặt \(a^2+ab+ac=x; bc=y\) thì:
\(A=x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2\)
Vì \((x+\frac{y}{2})^2\geq 0, y^2\geq 0\Rightarrow A\geq 0\)
Ta có đpcm.
Cho a+b+c=1. Chứng minh rằng: b+c\(\ge\)16abc ( a,b,c\(\ge\)0)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c\)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
Bài 1: a) Cho x>0,y>0 và m,n là hai số thực .Chứng minh rằng \(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\) ≥ \(\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\)
b)Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng : \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\) ≥\(\frac{3}{2}\)
Cho a, b, c>0
Chứng minh rằng: (a+b+c)^2\(\ge\) 3(ab+bc+ca) và ((a+b+c)^2/ab+bc+ca)+(ab+bc+ca/(a+b+c)^2)\(\ge\) 10/3
Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Cho các số a,b,c thỏa mãn 1≥a,b,c≥0. CMR: a + b2 + c3 - ab - bc - ca ≤ 1
Bài 5:
a) Cho x>0, y>0 và m, n là hai số thực. Chứng minh rằng\(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\)≥\(\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\)
b) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc=1.
Chứng minh rằng \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)≥\(\frac{3}{2}\)
Cho ba số a, b, c >0,
Chứng minh rằng: a/b2 +b/c2+c/a2 ≥ 1/a+1/b+1/c
