Question

CM định lý sau bằng phương pháp phản chứng : Trong 1 tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh huyền

Answer 1

Tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.
\(\triangle{MAB}\) và \(\triangle{MNC}\) có:
\(\widehat{AMB}\) = \(\widehat{NMC}\) (đối đỉnh)
BM = CM (gt)
MA = MN (dựng hình)
\(\Rightarrow\) \(\triangle{MAB}\) = \(\triangle{MNC}\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\)NC = AB (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{MBA}\) = \(\widehat{MCN}\) (hai góc tương ứng)
Vì \(\widehat{MBA}\) = \(\widehat{MCN}\) nên AB // NC
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ACN}\) = 180^o.
\(\widehat{BAC}\) = 90^o \(\Rightarrow\) \(\widehat{ACN}\) = 90^o.
Xét hai tam giác vuông ABC và CNA :
AC chung
AB = NC (cmt)
\(\Rightarrow\) \(\triangle{ABC}\) = \(\triangle{CNA}\) (hai cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow\) AN = BC (hai cạnh tương ứng)
Ta có: AN = BC \(\Rightarrow\) AM = \(\dfrac{1}{2}\) BC.
\(\Rightarrow\) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.