Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lebenslehre

Chuyên mục: BĐT Toán học #6

Ai trả lời đúng + chính xác sẽ được 5GP.

Question: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y+x\ge12\).Tìm GTNN của biểu thức:
\(C=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\)

_#Part 5 do sai sót của tớ nên 3 GP vẫn trao cho người tìm được nguồn trên mạng anh Nguyễn Huy Thắng nha.

_Dù em biết anh không cần nhưng em sẽ vẫn gửi 3 GP cho acc @Lightning Farron.

_Quiz này #5 GP nhé, với cả tớ post buổi tối cho mọi người cùng làm nha.

#Don't_try_so_hard

#The_best_things_come_when_you_least_expect_them_to

#GudLuck

Shurima Azir
14 tháng 11 2018 lúc 21:07

Lỗi đề rồi

Shurima Azir
14 tháng 11 2018 lúc 21:20

\(\dfrac{C}{2}=\dfrac{x}{\sqrt{4y}}+\dfrac{y}{\sqrt{4z}}+\dfrac{z}{\sqrt{4x}}\ge\dfrac{2x}{y+4}+\dfrac{2y}{z+4}+\dfrac{2z}{x+4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{C}{4}\ge\dfrac{x}{y+4}+\dfrac{y}{z+4}+\dfrac{z}{x+4}=\dfrac{x^2}{xy+4x}+\dfrac{y^2}{yz+4y}+\dfrac{z^2}{zx+4z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+4\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+12\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+12}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow C\ge6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 4

Nguyễn Minh Huyền
14 tháng 11 2018 lúc 21:12

Ước gì t đã giỏi toán :> nhưng mà dell bao giờ được đâu

Nguyễn Thị Ngọc Thơ
14 tháng 11 2018 lúc 21:13

Thôi rồi cái đề ơi :>
Ai có thể sửa hộ tớ :
\(x+y+z\ge12\)

Xin lỗi mọi người nhé :>
@phynit thầy ơi sửa hộ em với, em rất xin lỗi đã làm phiền ạ TT_TT

Eren
14 tháng 11 2018 lúc 21:44

46 phút trước ra đề, 24 phút trước có lời giải :v

Nguyễn Huy Thắng
15 tháng 11 2018 lúc 20:35

du tui ko can nhung sao tui thay co moi 2 GP nhi :v Violympic toán 9

Nguyễn Thị Ngọc Thơ
16 tháng 11 2018 lúc 11:57

Thốn nhất là khi đánh máy sắp xong thì click back -.-

Có 2,3 cách giải nhưng chị @Shurima Azir giải 1 cách rồi nên tớ sẽ làm cách ngắn gọn nhất :>
Key:

Ta có: \(C^2=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\dfrac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương, ta có:

\(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\dfrac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4x\)

Tương tự cho 2 bộ kia.

\(\Rightarrow C^2\ge4\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)=3\left(x+y+z\right)=36\)

\(\Rightarrow C\ge6\)

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=4\)

Vậy ...

đề bài khó wá
17 tháng 11 2018 lúc 7:34

Bài làm :

Ta có : \(C^2=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\dfrac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số dương,ta được :

\(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\dfrac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\dfrac{x^2.x^2.y.z}{yz}}=4x\)

\(\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\dfrac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4\sqrt[4]{\dfrac{y^2.y^2.z.x}{xz}}=4y\)

\(\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\dfrac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4\sqrt[4]{\dfrac{z^2.z^2.x.y}{yx}}=4z\)

Do đó : \(C^2\ge4\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)=3\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow C^2\ge3.12=36\)(Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4)

Vậy minC = 6 khi và chỉ khi x=y=z=4

Shurima Azir
18 tháng 11 2018 lúc 22:01

Nguyễn Thị Ngọc Thơ không tick quá 5GP đấy chứ ? Từ lúc có bài này đến giờ nhận 7 hay 8 GP gì đấy rồi


Các câu hỏi tương tự
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Trương  quang huy hoàng
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết