Question

chứng tỏ rằng B = \(\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+....+\frac{n^2-1}{n^2}\) không phải là số tự nhiên với mọi số tự nhiên n , n >2

Answer 1

\(\frac{n^2-1}{n^2}=1-\frac{1}{n^2}< 1-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\)

\(\Rightarrow B< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}=n-1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2}\)

Mà \(n>2\Rightarrow\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2}< 0\Rightarrow B< n-1\)

\(\frac{n^2-1}{n^2}=1-\frac{1}{n^2}>1-\frac{1}{n\left(n-1\right)}=1-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow B>1-1+\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+1-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}=n-2+\frac{1}{n}>n-2\)

\(\Rightarrow n-2< B< n-1\Rightarrow B\) nằm giữa 2 số tự nhiên liên tiếp nên B không phải là STN