Question

Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông trong các trường hợp sau:

a) AB = 3x, AC = 4x, BC = 5x (x > 0)

b) AB = 5x, AC = 12x, BC = 13x (x > 0)

c) AB = 40x, AC = 41x, BC = 9x (x > 0)

d) 20AB = 15AC = 12BC

e) 65AB = 156AC = 60BC

Answer 1

a)Ta có:

\(AB^2+AC^2= \left(3x\right)^2+\left(4x\right)^2=9x^2+16x^2=25x^2=\left(5x\right)^2=BC^2\)Theo định lí Pytago đảo, △ABC vuông tại A (đpcm)

b)Ta có:

\(AB^2+AC^2=\left(5x\right)^2+\left(12x\right)^2=25x^2+144x^2=169x^2=\left(13x\right)^2=BC^2\)

Theo định lí Pytago đảo, △ABC vuông tại A (đpcm)

c)Ta có:

\(AB^2+BC^2=\left(40x\right)^2+\left(9x\right)^2=1600x^2+81x^2=1681x^2=\left(41x\right)^2=AC^2\)

Theo định lí Pytago đảo, △ABC vuông tại B (đpcm)

d)Ta có:

\(20AB=15AC=12BC\Rightarrow\frac{20AB}{60}=\frac{15AC}{60}=\frac{12BC}{60}\Rightarrow\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=\frac{BC}{5}=k\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=3k\\AC=4k\\BC=5k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=\left(3k\right)^2+\left(4k\right)^2=9k^2+16k^2=25k^2=\left(5k\right)^2=BC^2\)

Theo định lí Pytago đảo, △ABC vuông tại A (đpcm)

e)Ta có:

\(65AB=156AC=60BC\Rightarrow\frac{65AB}{780}=\frac{156AC}{780}=\frac{60BC}{780}\Rightarrow\frac{AB}{12}=\frac{AC}{5}=\frac{BC}{13}=k\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=12k\\AC=5k\\BC=13k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=\left(12k\right)^2+\left(5k\right)^2=144k^2+25k^2=169k^2=\left(13k\right)^2=BC^2\)

Theo định lí Pytago đảo, △ABC vuông tại A (đpcm)