Giả sử phản chứng √2 là số hữu tỉ ⇒ √2 có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản m/n
√2 = m/n
⇒ 2 = m²/n²
⇒ m² = 2n²
⇒ m² chia hết cho n²
⇒ m chia hết cho n (vô lý vì m/n là phân số tối giản nên m không chia hết cho n)
Vậy giả sử phản chứng là sai. Suy ra √2 là số vô tỉ.
Giả sử căn bậc 2 của 2 là 1 số hữu tỉ ( nếu kết quả ra số hữu tỉ thì điều giả sử là đúng còn nếu ko thì điều giả sử là sai)
Vậy căn 2 = a/bvới a,b thuộc Z, b khác 0 và a/b là 1 phân số tối giản.
bình phương hai vế ta được: 2=a^2/b^2
suy ra: a^2=2b^2
Vậy a^2 là số chẵn, suy ra a là số chẵn.
nên a=2m, m thuộc Z(m là 1 tham số), ta được:
(2m)^2=a^2=2b^2
suy ra: b^2=(2m)^2/2=2m^2
Vậy b^2 là số chẵn suy ra b là số chẵn.
nên b=2n, n thuộc Z(n là tham số)
Như vậy: a/b = 2m/2n ko phải là phân số tối giản, trái với giả sử ban đầu.
Vậy căn bậc 2 của 2 là 1 số vô tỉ.
Chúc bạn học giỏi và thành công.
Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{2}=\frac{m}{n}ƯCNN\left(m;n\right)là:1\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^2=\left(\frac{m}{n}\right)^2\)
\(2=\frac{m^2}{n^2}\)
\(2.n^2=m^2\)(1)
\(\Rightarrow m^2=1.2.n^2\)
\(\Rightarrow m^2⋮2\)(Mà 2 là số nguyên tố)
\(\Rightarrow m⋮2\Rightarrow m=2k\left(2\right)\)
Thay 2 vào 1 ta được:
\(2.n^2=m^2\)
\(2.n^2=\left(2k\right)^2\)
\(2n^2=4K^2\)
\(n^2=2K^2\)
\(\Rightarrow n^2⋮3\)(mà 3 là số nguyên tố)
\(\Rightarrow n⋮3\)
Do đó m;n đều chia hết cho 3(vô lý với điều giả sử)
Vậy \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tĩ thì \(\sqrt{2}\) được biểu diễn dưới dạng \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) với a,b E Z;b # 0 và (a;b)=
Từ \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}=>a=b\sqrt{2}=>a^2=\left(b\sqrt{2}\right)^2=2b^2\) (1)
Vì 2b2 chia hết cho 2 nên a2 cũng phải chia hết cho 2 (vì a2=2b2 và a,b là các số nguyên)
=>a2 phải là số chẵn => a cũng là số chẵn
Do đó a được viết dưới dạng b=2t (với t là số nguyên)
Thay vào (1) ta có:
\(\left(2t\right)^2=2b^2=>4t^2=2b^2=>b^2=2t^2\)
Vì 2t2 chia hết cho 2 nên b2 cũng phải chia hết cho 2 (vì b2=2t2 và b,t là các số nguyên)
=>b2 phải là số chẵn => b cũng là số chẵn
Nhưng nếu a;b cùng là số chẵn thì chắc chắn chúng sẽ có chung 1 ước số là 2.Điều này trái giả thiết (a;b)=1
Vậy điều giả sử là sai
Do đó \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ
