Question

chứng minh rằng x^5-x+2 không là số chính phương với mọi x thuộc Z

Answer 1

Ta xét x⁵-x ;

\(x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

=> Biểu thức trên chia hết cho 3 do có 3 số nguyên liên tiếp (x-1)x(x+1) ;

hay x⁵-x chia hết cho 3... Xét x⁵-x+2 ta có:

Do x⁵-x chia hết cho 3 nên x⁵-x+2 chia 3 dư 2;

Ta xét lần lượt các số k có dạng 3k;3k + 1 ; 3k+2 thì ta thấy rằng cả ba trường hợp trên khi bình phương lên thì đều chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1..

=> Không có số chính phương nào chia 3 dư 2 ;

Vậy x⁵-x+2 không là số chính phương