Lời giải:
Quy nạp:
Xét \(n=1\Rightarrow 2^{3^n}+1=9\) chia hết cho $3$
Xét \(n=2\Rightarrow 2^{3^n}+1=513\) chia hết cho $9$
........
Giả sử điều trên đúng với $n=k$. Ta cần cm nó cũng đúng với $n=k+1$, tức là \(2^{3^{k+1}}+1\vdots 3^{k+1}\)
Thật vậy:
Với giả sử trên, ta có \(2^{3^k}+1\vdots 3^k\)
Có: \(2^{3^{k+1}}+1=(2^{3^k})^3+1=(2^{3^k}+1)(2^{3^k.2}-2^{3^k}+1)\)
Thấy rằng \(2^{3^k}+1\vdots 3^k\)
\(\left\{\begin{matrix} 2^{2.3^k}=4^{3^k}\equiv 1^{3^k}\equiv 1\pmod 3\\ 2^{3^k}\equiv (-1)^{3^k}\equiv -1\pmod 3\\ 1\equiv 1\pmod 3\end{matrix}\right.\Rightarrow 2^{2.3^k}-2^{3^k}+1\equiv 3\equiv 0\pmod 3\)
Hay \(2^{2.3^k}-2^{3^k}+1\vdots 3\)
Suy ra \(2^{3^{k+1}}+1=(2^{3^k}+1)(2^{2.3^k}-2^{3^k}+1)\vdots 3^{k+1}\)
Do đó ta có đpcm.
