Question

Chứng minh rằng với n ε  N^*    ta luôn có:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

b) 4ⁿ + 15n - 1 chia hết cho 9;

c) n³ + 11n chia hết cho 6.

 

Answer 1

a)Đặt \(E_n=n^3+3n^2+5n\)

Với n=1 thì E₁=9 chia hết 3Giả sử E_n đúng với \(n=k\ge1\) nghĩa là:

\(E_k=k^3+3k^2+5k\) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh E_k+1 chia hết 3,tức là:

E_k+1=(k+1)³+3(k+1)²+5(k+1) chia hết 3

Thật vậy:

E_k+1=(k+1)³+3(k+1)²+5(k+1)

       =k³+3k²+5k+3k²+9k+9=E_k+3(k²+3k+3)

Theo giả thiết quy nạp thì E_k chia hết 3

ngoài ra 3(k²+3k+3) chia hết 3 nên E_k chia hết 3

=>E_k chia hết 3 với mọi \(n\in N\)*

Answer 2

c) n^3-n+12n

= n(n^2-1)+12n

n(n-1)(n+1)+12n

Ta thấy 3 số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) ít nhất có 1 số chia hết cho 2, và ít nhất có 1 số chia hết cho 3, suy ra tích chia hết cho 6 mà 12n =6x2n chia hết cho 6 suy ra điều phải chứng minh