Giải:
Tam giác vuông \(\text{ }ABC\), vuông tại \(\text{ }A\), có \(\text{ }AM\) là trung tuyến.
Trên tia đối của \(\text{ }MA\) lấy điểm \(\text{ }D\) sao cho \(\text{ }MD=AM\)
Do đó: \(AM=\frac{1}{2}AD\left(1\right)\)
Suy ra: Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành, có \(\widehat{A}=90^o\)
Nên \(\text{ABDC}\) là hình chữ nhật
Suy ra: \(\text{ }AD=BC\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta có: \(AM=\frac{1}{2}BC\)
Vậy trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm n sao cho MA=NA.
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta NCM\) có:
AM = AN ( theo cách lấy điểm N)
AMB = NMC ( đối đỉnh)
MB = MC (GT)
\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta NCM\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow AB=NC\)
Ta có : MA = 1/2 AN; mà MA = 1/2 BC
Suy ra: AN = BC
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CNA\) CÓ:
AB = NC ( cmt)
AC chung
BC = AN (cmt)
\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta NAC\left(c.c.c\right)\\ \Rightarrow BAC=NCA\)
mà ABM=MCN ( vì t/g ABM = t/g NCM)
Suy ra ; AB//CN
\(\Rightarrow BAC+NCA=180^O\) (hai góc trong cùng phía)
=> 2.BAC = 180O
=> BAC= 90O
Do dó t/g BAC vuông tại A
Vậy trong một tam giác,nếu trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông
