Lời giải:
Xét \(148\) số :
\(4\)
\(44\)
\(444\)
..........
\(\underbrace{444...444}_{\text{148 số}}\)
Vì ta có $148$ số, mà mỗi số khi chia cho $147$ có thể dư $0,1,....,146$ (\(147\) loại số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left [ \frac{148}{147} \right ]+1=2\) số có cùng số dư khi chia cho $147$
Gọi hai số đó là \(\underbrace{444....4}_{m}\) và \(\underbrace{444....4}_{n}\) với \(m< n\)
Khi đó: \(\underbrace{444....4}_{n}-\underbrace{444....4}_{m}\vdots 147\)
\(\Leftrightarrow 4(\underbrace{111....1}_{n}-\underbrace{111....1}_{m})\vdots 147\Leftrightarrow 4\left ( \frac{10^n-1}{9}-\frac{10^m-1}{9} \right )\vdots 147\)
\(\Leftrightarrow 4\left ( \frac{10^n-10^m}{9} \right )\vdots 147\Leftrightarrow \frac{4.10^m(10^{n-m}-1)}{9}\vdots 147\Rightarrow \frac{4(10^{n-m}-1)}{9}\vdots 147\)
\(\Leftrightarrow \underbrace{444....4}_{n-m}\vdots 147\)
Do đó tồn tại số toàn chữ số $4$ chia hết cho $147$
