Question

Chứng minh rằng : \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) không là số hữu tỉ.

Answer 1

Lời giải

Giả sử: \(\sqrt{2}\) và \(\sqrt{3}\) là các số hữu tỉ

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}\\\sqrt{3}=\dfrac{x}{y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b^2}=2\\\dfrac{x^2}{y^2}=3\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2=2b^2\\x^2=3y^2\end{matrix}\right.\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a^2⋮2\\x^2⋮3\end{matrix}\right.\)

Như vậy \(\left\{{}\begin{matrix}b^2⋮2\\y^2⋮3\end{matrix}\right.\) để có thể thỏa mãn điều kiện trên

Vậy \(\sqrt{2}\) và \(\sqrt{3}\) là số vô tỉ