Vơi mọi a, b ta luôn có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng hai vế, ta được đpcm. Dấu '=' xảy ra khi a = b = 1
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\begin{cases}
a \leq \dfrac{a^{2}+1}{2}\\
b \leq \dfrac{b^{2}+1}{2}
\end{cases}\) (BĐT này đúng với mọi a,b)
Cộng hai vế này với nhau ta được:
\(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}\)\(\leq\) \(\dfrac{\dfrac{a^2+1}{2}}{a^2+1}+\dfrac{\dfrac{b^2+1}{2}}{b^2+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}\) \(\leq\) 1
Dấu'=' xảy ra khi a=b=1