Question

Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{2009\sqrt{2008}}< 2\)

Answer 1

Ta có các số trong dãy đều có dạng 1/[ (n + 1)√n ]
Ta có: 1/[ (n + 1)√n ] = (√n)/[ (n + 1)√n.√n ] = (√n)/[ (n + 1)n ] = (√n).1/[ (n + 1)n ]
Do 1/[ (n + 1)n ] = 1/n - 1/(n + 1) (mình nghĩ bạn biết cái này)
=> (√n).1/[ (n + 1)n ] = (√n).[ 1/n - 1/(n + 1) ]
Ta có 1/n - 1/(n + 1) = (1/√n)² - [ 1/√(n + 1) ]²
= [ 1/√n + 1/√(n + 1) ]. [ 1/√n - 1/√(n + 1) ]
=> 1/n - 1/(n + 1) = [ 1/√n + 1/√(n + 1) ]. [ 1/√n - 1/√(n + 1) ]
=> (√n).[ 1/n - 1/(n + 1) ] = (√n).[ 1/√n + 1/√(n + 1) ]. [ 1/√n - 1/√(n + 1) ]
Nhân √n với [ 1/√n + 1/√(n + 1) ] ta được
(√n).[ 1/√n + 1/√(n + 1) ]. [ 1/√n - 1/√(n + 1) ] = [ 1 + (√n)/√(n + 1) ].[ 1/√n - 1/√(n + 1) ]
=> 1/[ (n + 1)√n ] = [ 1 + (√n)/√(n + 1) ].[ 1/√n - 1/√(n + 1) ] (1)
Do (√n)/√(n + 1) < √(n + 1)/√(n + 1)
=> (√n)/√(n + 1) < 1
=> 1 + (√n)/√(n + 1) < 1 + 1
=> 1 + (√n)/√(n + 1) < 2
=> [ 1 + (√n)/√(n + 1) ].[ 1/√n - 1/√(n + 1) ] < 2.[ 1/√n - 1/√(n + 1) ] (2)
Từ (1) và (2) => 1/[ (n + 1)√n ] < 2.[ 1/√n - 1/√(n + 1) ]
Áp dụng ta được
1/2 < 2( 1 - 1/√2)
1/3√2 < 2(1/√2 - 1/√3)
....
1/(n+1)√n < 2(1/√n - 1/√(n + 1) )
=> 1/2 + 1/3√2 + 1/4√3 +.....+ 1/(n+1)√n < 2( 1 - 1/√2) + 2(1/√2 - 1/√3) + ... + 2(1/√n - 1/√(n + 1) )
=> 1/2 + 1/3√2 + 1/4√3 +.....+ 1/(n+1)√n < 2( 1 - 1/√2 + 1/√2 - 1/√3 + ... + 1/√n - 1/√(n + 1) )
=> 1/2 + 1/3√2 + 1/4√3 +.....+ 1/(n+1)√n < 2(1 - 1/√(n + 1) ) (3)
Do 1√(n + 1) > 0
=> -1√(n + 1) < 0
=> 1 -1√(n + 1) < 1
=> 2(1 - 1/√(n + 1) ) < 2 (4)
Từ (3) và (4) => 1/2 + 1/3√2 + 1/4√3 +.....+ 1/(n+1)√n < 2

Answer 2

\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}.\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\) . Do \(\sqrt{n+1}>\dfrac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}.\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}< \dfrac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}.\dfrac{2}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Vậy \(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Áp dụng vào bài toán:

\(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{2009\sqrt{2008}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2008}}-\dfrac{1}{\sqrt{2009}}\right)\)

\(\Rightarrow VT< 2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2009}}\right)< 2-\dfrac{2}{\sqrt{2009}}< 2\) (đpcm)