Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đinh Thuận
Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương và n > 1 , ta đều có \(2\sqrt{n}-3< \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}-2\)
Akai Haruma
12 tháng 1 2019 lúc 23:31

Lời giải:

Đặt \(P=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)

Ta có:

\(\frac{P}{2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{4}}+...+\frac{1}{2\sqrt{n}}\)

\(< \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}(1)\)

Mà:

\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{1})(\sqrt{2}+\sqrt{1})}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{(\sqrt{4}-\sqrt{3})(\sqrt{4}+\sqrt{3})}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\)

\(=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+...+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)

\(=\sqrt{n}-1(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{P}{2}< \sqrt{n}-1\Rightarrow P< 2\sqrt{n}-2\)

-----------------------

Tương tự:

\(\frac{P}{2}>\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}+\frac{1}{2\sqrt{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{2}+\frac{1}{2\sqrt{n}}\)

\(\Rightarrow P> 2\sqrt{n}-2\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{n}}\)

\(2\sqrt{n}-2\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{n}}> 2\sqrt{n}-3\Rightarrow P>2\sqrt{n}-3\)

Ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
Lệ Nguyễn Thị Mỹ
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Diễm Quỳnh
Xem chi tiết
Văn Quyết
Xem chi tiết
Nguyễn Viết Thắng
Xem chi tiết
Hàn Băng Di
Xem chi tiết
nguyen minh ngoc
Xem chi tiết
nguyen minh ngoc
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong
Xem chi tiết
Hoàng
Xem chi tiết