Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nguyen minh ngoc

Cho n là số nguyên dương (n> hoặc = 2). CMR

\(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)

Nguyễn Việt Lâm
24 tháng 11 2018 lúc 20:59

Bạn ghi sai đề à? Số đầu tiên phải là \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}\) chứ sao là \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\), mặc dù đề như vậy làm vẫn được nhưng chắc chẳng ai cho dãy quy luật kiểu đó

\(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=2\left(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\right)\)

\(\Rightarrow A>2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\right)\)

\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)

Ta chứng minh \(2\left(\sqrt{n+1}-1\right)>\sqrt{n}\Leftrightarrow2\sqrt{n+1}>\sqrt{n}+2\)

\(\Leftrightarrow4\left(n+1\right)>n+4+4\sqrt{n}\Leftrightarrow3n>4\sqrt{n}\Leftrightarrow\sqrt{n}>\dfrac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow n>\dfrac{16}{9}\) (đúng với mọi \(n\ge2\) )

Vậy \(A>\sqrt{n}\)

- Ta chứng minh tiếp \(A< 2\sqrt{n}\)

\(A=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=1+\dfrac{2}{2\sqrt{2}}+...+\dfrac{2}{2\sqrt{n}}\)

\(\Rightarrow A< 1+2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\right)\)

\(\Rightarrow A< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

\(\Rightarrow A< 1+2\left(\sqrt{n}-1\right)=2\sqrt{n}-1< 2\sqrt{n}\) (đpcm)

Vậy: \(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)

nguyen minh ngoc
24 tháng 11 2018 lúc 20:20

Nguyễn Việt Lâmtran nguyen bao quanBạch Tuyên NghiNguyễn Thanh Hằng help me


Các câu hỏi tương tự
nguyen minh ngoc
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Diễm Quỳnh
Xem chi tiết
Lệ Nguyễn Thị Mỹ
Xem chi tiết
Nguyễn Viết Thắng
Xem chi tiết
Đinh Thuận
Xem chi tiết
 Quỳnh Anh Shuy
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong
Xem chi tiết
Lee Seung Hyun
Xem chi tiết
Văn Quyết
Xem chi tiết