Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ
a, \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=a\) (a là số hữu tỉ)
Ta có :
\((\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=a ^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{3^2} - 2.\sqrt{3}.\sqrt{2} +\sqrt{2^2} = a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(3-2\sqrt{6} +2\) \(=a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(5-2\sqrt{6} = a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(5-a^2 = 2\sqrt{6}\) \(\Rightarrow\) \(2\sqrt{6} \) là số hữu tỉ (vô lí)
Vậy điều giả sử là sai
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{3}-\sqrt{2} \) là số vô tỉ (đpcm)
b, \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
Giả sử \(2\sqrt{2}+\sqrt{3} =a \) ( a là số hữu tỉ )
Ta có :
\((2\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 =a ^2\)
\(\Leftrightarrow\) \((\sqrt{8}+\sqrt{3})^2 = a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{8^2} +2\sqrt{8}.\sqrt{3}+\sqrt{3^2} =a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(8+2\sqrt{24} +3 =a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(11+2.2\sqrt{6} =a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(11+4\sqrt{6}= a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(4\sqrt{6} = a^2-11\)
\(\Rightarrow\) \(4\sqrt{6} \) là số hữu tỉ (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai
\(\Rightarrow\) \(2\sqrt{2}+\sqrt{3} \) là số vô tỉ (đpcm)
c, \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} \)
Giả sử : \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} \) = a ( a là số hữu tỉ )
Ta có :
\((\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = a^2 \)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{2^2} + \sqrt{3^2} +\sqrt{5^2} +2.\sqrt{2}.\sqrt{3}+2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+2.\sqrt{2}.\sqrt{5} =a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(2+3+5+2\sqrt{6} +2\sqrt{15}+2\sqrt{10} =a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(10+2(\sqrt{6}+\sqrt{15}+\sqrt{10})=a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(10+2\sqrt{31} = a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\sqrt{31} = a^2-10\)
\(\Rightarrow\) \(2\sqrt{31} \) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} \) là số vô tỉ (đpcm)
