Question

Chứng minh rằng :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) (với \(a>0,b>0\))

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) (với \(a>0,b>..0\))

Answer 1

a) Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm , ta có:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

b) Xét hiệu:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng)

=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

Answer 2

a) a + b ≥ 2\(\sqrt{ab}\) ( a > 0 ; b > 0 )

⇔ a - 2\(\sqrt{ab}\) + b ≥ 0

⇔ \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\) ≥ 0 ( luôn đúng )

b) Áp dụng BĐT Cô-si :

x² + y² ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0)

⇒ a² + b² ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)

⇔ \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) ≥ 2

⇔\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2

Answer 3

Câu a :

Ta có :

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b\)

Câu b :

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

Ta có :

\(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng )