Question

chứng minh rằng \(a^5-a\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên a

Answer 1

\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)\)

\(=a\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

Lại có : Tích 5 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 5 nên tổng trên chia hết cho 5

\(\Rightarrow a^5-a⋮5\)

Answer 2

a⁵ - a

= a(a⁴ - 1)

= a(a² - 1)(a² + 1)

= a(a² - 1)(a² - 4 + 5)

= a.(a² - 1)(a² - 4) + 5.a(a² - 1)

= a(a² - 1)(a² - 2²) + 5.a(a² - 1)

= a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + 5.a(a² - 1)

Mà a - 2; a - 1; a ; a + 1; a + 2 là 5 số tự nhiên liên tiếp nên \(⋮\) 5

5.a(a² - 1) \(⋮\) 5

Vậy a⁵ - a \(⋮\) 5

Chúc bn học tốt