Câu hỏi của Phượng Hoàng

Question

Chứng minh rằng:

a, $4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3$ với a> b> 0

b, $\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$

c, \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^...

Rimuru tempest · Accepted Answer

a) Theo bđt cauchy ta có:

$a^3+b^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^3.b^6}=3ab^2$

$a^3+a^3+b^3\ge3a^2b$

công vế theo vế ta có $3\left(a^3+b^3\right)\ge3ab^2+3a^2b$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+3\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3$

suy ra đpcmCâu trả lời: a) Theo bđt cauchy ta có:

$a^3+b^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^3.b^6}=3ab^2$

$a^3+a^3+b^3\ge3a^2b$

công vế theo vế ta có $3\left(a^3+b^3\right)\ge3ab^2+3a^2b$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+3\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3$

suy ra đpcm

Rimuru tempest · Answer

ta luôn có $\left(a-b\right)^2\ge0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge a^2+2ab+b^2$

$\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2$

$\Leftrightarrow\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}$

$\Leftrightarrow\dfrac{\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2^2}=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$

suy ra đpcmCâu trả lời: ta luôn có $\left(a-b\right)^2\ge0$