Question

Chứng minh rằng:

A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁰ chia hết cho 21.

Answer 1

Từ 1 \(\rightarrow\) 90 có 90 số.

Nhóm thành: 90 : 6 = 15 (nhóm) . Mỗi nhóm có 6 số hạng.

A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2⁸⁵ + 2⁸⁶ + 2⁸⁷ + 2⁸⁸ + 2⁸⁹ + 2⁹⁰)

A = 126 + ... + 2⁸⁴. (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶)

A = 126 + ... + 2⁸⁴. 126

A = 126 . (1 + ... + 2⁸⁴)

Do 126 \(⋮\) 21 \(\Rightarrow\) A \(⋮\) 21.

Answer 2

ta có:

2²+2³+2⁴+...+2⁹⁰=2.(1+2+2²)+2⁴.(1+2+2²)+...+2⁸⁸.(1+2+2²)

=2.7+2⁴.7+...+2⁸⁸.7=7.(2+2⁴+...+2⁸⁸) chia hết cho 7 (1)

ta lại có:

2+2+...+2⁹⁰=2.(1+2)+2³.(1+2)+...+2⁸⁹.(1+2)=2.3+2³.3+...+2⁸⁹.3=3.(2+2³+...+2⁸⁹) chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

2+2²+2³+...+2⁹⁰ chia hết cho 3 và 7 hay chia hết cho 21

Answer 3

\(A=2+2^2+2^3+2^4+......+2^{90}\)

\(A=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+......+\left(2^{86}+2^{87}+2^{88}+2^{89}+2^{90}\right)\)

\(A=1.\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+........+2^{86}.\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)\)

\(A=1.62+......+2^{86}.62\)

Mà 62 \(⋮\) 31 \(\Rightarrow A⋮31\left(đpcm\right)\)