Question

Chưng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m :

sin⁴x +cos⁴x+msinx .cosx =1/2

Answer 1

PT\(\Leftrightarrow1-2sin^2x.cos^2x+m.sinx.cosx=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{sin^22x}{2}+\dfrac{m}{2}\cdot sin2x=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow sin^22x-m.sin2x-1=0\left(\cdot\right)\)

Đặt \(t=sin2x\left(-1\le t\le1\right)\)

PT(*) trở thành: \(t^2-m.t-1=0\)

Để PT có nghiêm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow m^2-4.1.\left(-1\right)\ge0\Leftrightarrow m^2+4\ge0\)

Dễ thấy \(m^2+4\ge0\left(\forall m\right)\)

Do đó PT (*) luôn có nghiệm với mọi m