Question

Chứng minh nếu phân số \(\dfrac{7n^2+1}{6}\) là số tự nhiên ( n \(\in\) N ) thì các phân số \(\dfrac{n}{2}\) và \(\dfrac{n}{3}\) là các phân số tối giản ?

Answer 1

Ta có :

\(\dfrac{7n^2+1}{6}\in N\)

\(\Rightarrow7n^2+1⋮6\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7n^2+1⋮2\\7n^2+1⋮3\end{matrix}\right.\) (vì \(6=BCNN\left(2;3\right)\))

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7n^2⋮3̸\\7n^2⋮2̸\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2⋮̸2\\n^2⋮3̸\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2⋮2̸\\n^2⋮3̸\end{matrix}\right.\)

Mà \(2;3\) là những số nguyên tố

\(\Rightarrow\) Nếu phân số \(\dfrac{7n^2+1}{6}\in N\) thì các phân số \(\dfrac{n}{2};\dfrac{n}{3}\) tối giản với mọi \(n\in N\)

\(\Rightarrow\) \(đpcm\)

~ Chúc bn học tốt ~