Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n sao cho phân số \(\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) là phân số tối giản

Answer 1

Gọi \(d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\) \(\left(d\in N\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+2n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^4+2n^2⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(n^2+1⋮d\)

Mà \(n^3+2n⋮d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+n⋮d\\n^3+2n⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n⋮d\)

Mà \(n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2⋮d\\n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

Vì \(d\in N;1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\)

Vậy phân số \(\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) tối giản với mọi \(n\in N\)

\(\Rightarrowđpcm\)

~ Chúc bn học tốt ~