Question

Chứng minh : \(\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{1}{2}\)

Answer 1

\(\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}\le x\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2\ge0\) là bđt đúng

Dấu "=" khi \(\sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow x-1=1\Leftrightarrow x=2\)

Answer 2

Áp dụng BĐT Cô si ngược ta có:

\(\frac{\sqrt{1\left(x-1\right)}}{x}\le\frac{\frac{1}{2}\left(1+x-1\right)}{x}=\frac{\frac{1}{2}.x}{x}=\frac{1}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi 1 = x - 1 hay x = 2