Question

Chứng minh bất đẳng thức :

\(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\) Với a+b=1

Answer 1

\(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) đúng

Vậy ta có đpcm

Answer 2

Không chắc là đúng đâu nhé :D

\(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-\frac{a+b}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a-b\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Answer 3

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:

\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2.\left(a^2+b^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5