Câu hỏi của Quanghoa Ngo

Question

Chứng minh : a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ac

Diễm Quỳnh · Accepted Answer

Ta có: $\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab$

$\left(a-c\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+c^2-2ac\ge0\Rightarrow a^2+c^2\ge2ac$

$\left(b-c\right)^2\ge0\Rightarrow b^2+c^2-2bc\ge0\Rightarrow b^2+c^2\ge2bc$

$a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2\ge2ab+2ac+2bc$

$2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc$

$2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)$

$a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$(đpcm)Câu trả lời: Ta có: $\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab$

$\left(a-c\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+c^2-2ac\ge0\Rightarrow a^2+c^2\ge2ac$

$\left(b-c\right)^2\ge0\Rightarrow b^2+c^2-2bc\ge0\Rightarrow b^2+c^2\ge2bc$

$a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2\ge2ab+2ac+2bc$

$2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc$

$2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)$

$a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$(đpcm)

Violympic toán 9