Ta chứng minh \(\left|a\right|-\left|b\right|< \left|a+b\right|\)
Nếu \(b>a\ge0\) hoặc \(b< a< 0\) thì ta có đpcm.
Nếu \(a>b\ge0\) hoặc \(a< b< 0\) thì vế trái dương, ta xét
\(\left(\left|a+b\right|\right)^2-\left(\left|a\right|-\left|b\right|\right)^2=\left(a^2+2ab+b^2\right)-\left(a^2-2\left|a\right|.\left|b\right|+b^2\right)=2ab+2\left|a\right|.\left|b\right|>0\)
Suy ra \(\left(\left|a+b\right|\right)^2>\left(\left|a\right|-\left|b\right|\right)^2\) hay \(\left|a\right|-\left|b\right|< \left|a+b\right|\)
Ta chứng minh \(\left|a+b\right|< \left|a\right|+\left|b\right|\)
Vì vế phải không âm nên ta bình phương được \(\left(a+b\right)^2< \left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\Leftrightarrow2ab< 2\left|a\right|.\left|b\right|\) (luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
