Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Chí Thành

Cho x,y,z thỏa mãn \(\frac{1}{x+2y}+\frac{1}{y+2z}+\frac{1}{z+2x}=1\)

Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{x}{x+2yz}+\frac{y}{y+2zx}+\frac{z}{z+2xy}\)

Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 11 2019 lúc 23:54

\(1=\frac{1}{x+y+y}+\frac{1}{y+z+z}+\frac{1}{z+x+x}\)

\(\Rightarrow1\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}+\frac{1}{z}+\frac{2}{x}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\Rightarrow xy+yz+zx\ge3xyz\)

\(P=\frac{x^2}{x^2+2xyz}+\frac{y^2}{y^2+2xyz}+\frac{z^2}{z^2+2xyz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+6xyz}=\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}{x^2+y^2+z^2+6xyz}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2+y^2+z^2+6xyz}{x^2+y^2+z^2+6xyz}=1\)

\(P_{min}=1\) khi \(x=y=z=1\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Khoa
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
erffsdaseefd
Xem chi tiết
Luân Đào
Xem chi tiết
Kim Yuri
Xem chi tiết
tran thi mai anh
Xem chi tiết
Trần Bảo Hân
Xem chi tiết