Question

cho x,y,z là các số thực thỏa mãn x+y+z=3
chứng minh rằng : (x-1)³ + (y-1)³ + (z-1)³ ≥ \(-\dfrac{3}{4}\)

Answer 1

Nếu bổ sung điều kiện $x,y,z$ không âm thì có thể giải như sau:

$(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1=x(x^2-3x+\frac{9}{4})+\frac{3}{4}x-1$

$=x(x-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}x-1$

$\geq \frac{3}{4}x-1$

Hoàn toàn tương tự với phần còn lại và cộng theo vế:

$(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3\geq \frac{3}{4}(x+y+z)-3=\frac{9}{4}-3=\frac{-3}{4}$

Ta có đpcm.

Answer 2

BĐT sai với $x=-9; y=6; z=6$