Question

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn xyz=1

Tìm GTLN của biểu thức: \(A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)

Answer 1

Lời giải:

Đề cần bổ sung điều kiện $x,y,z>0$

Xét hiệu:

$x^3+y^3-xy(x+y)=(x-y)^2(x+y)\geq 0, \forall x,y>0$

$\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)$

$\Rightarrow x^3+y^3+1=x^3+y^3+xyz\geq xy(x+y+z)$

$\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$

Hoàn toàn tương tự:

$\frac{1}{y^3+z^3+1}\leq \frac{x}{x+y+z}; \frac{1}{z^3+x^3+1}\leq \frac{y}{x+y+z}$

Cộng theo vế các BĐT trên thu được:

$A\leq \frac{x+y+z}{x+y+z}=1$

Vậy $A_{\max}=1$ khi $x=y=z=1$