Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vương Thiên Nhi

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn: x+y+z\(\le\)1

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)

Trần Thanh Phương
1 tháng 11 2019 lúc 17:46

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :

\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1^2+9^2\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge x+\frac{9}{x}\)

Chứng minh tương tự :

\(\sqrt{82}\cdot\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge y+\frac{9}{y}\)

\(\sqrt{82}\cdot\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge z+\frac{9}{z}\)

Cộng theo vế các BĐT :

\(\sqrt{82}\cdot\left(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\right)\ge x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)

Lại có :

\(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}=\frac{9}{x}+81x+\frac{9}{y}+81y+\frac{9}{z}+81z-80\cdot\left(x+y+z\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{81x\cdot9}{x}}+2\sqrt{\frac{81y\cdot9}{y}}+2\sqrt{\frac{81z\cdot9}{z}}-80\cdot1=82\)

Do đó ta có \(\sqrt{82}\cdot A\ge82\)

\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{82}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

Khách vãng lai đã xóa
Vương Thiên Nhi
1 tháng 11 2019 lúc 16:53

Nguyễn Việt Lâm

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Đinh Hạnh
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết
Ngô Thanh Huyền
Xem chi tiết
Khải Lê
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết