cho x,y,z là 3 số dương và x+y+y \(\le\)1 . CMR : \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge82\)

\(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+....+\frac{1}{2006^2}=\frac{1}{1.1}+\frac{1}{2.2}+.....+\frac{1}{2006.2006}\)

\(< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+.....+\frac{1}{2015.2016}\)

\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2006}\)

\(=2-\frac{1}{2016}< 2\left(đpcm\right)\)

Đặt: \(\frac{x}{12}=\frac{y}{9}=\frac{z}{5}=k\)

\(\Rightarrow x=12k\)

\(y=9k\)

\(z=5k\)

\(\Rightarrow xyz=12k.9k.5k=540k^3=20\Rightarrow k^3=\frac{20}{540}=\frac{1}{27}=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow x=\frac{1}{3}.12=4\)

\(y=\frac{1}{3}.9=3\)

\(z=\frac{1}{3}.5=\frac{5}{3}\)
 

Gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình của khối 7 lần lượt là : a, b, c (học sinh) (a,b,c > 0)

theo bài ta có : a/2 = b/3 = c/5 và b + c - a = 180 (em)

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

a/2 = b/3 = c/5 = b + c - a = 30 

=> a = 2.30 = 60

      b = 3.30 = 90

      c = 5.30 =1 50

Vậy số học sinh giỏi là 60 em.

Số học sinh khá là 90 em.

Số học sinh trung bình là: 150 em.