Question

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y+z≥12

Tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)

Answer 1

\(P=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{z}}+\frac{z^2}{z\sqrt{x}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}}\)

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{x\left(y+4\right)}{4}+\frac{y\left(z+4\right)}{4}+\frac{z\left(x+4\right)}{4}}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+zx+4\left(x+y+z\right)}\)

\(P\ge\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+4\left(x+y+z\right)}=\frac{12\left(x+y+z\right)}{x+y+z+12}=12-\frac{144}{x+y+z+12}\ge12-\frac{144}{12+12}=6\)

\(\Rightarrow P_{min}=6\) khi \(x=y=z=4\)