Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu:
\(1728=(3x+3y)(2x+2z)(2y+2z)\leq \left(\frac{5x+5y+4z}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow 5x+5y+4z\geq 36\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(18P=(5x^2+5y^2+2z^2)(5+5+8)\geq (5x+5y+4z)^2\geq 36^2\)
\(\Rightarrow P\geq 72\)
Vậy \(P_{\min}=72\Leftrightarrow (x,y,z)=(2,2,4)\)
À, rồi, hiểu ý bạn. Tức là bạn muốn CM với \(x,y,z\in\mathbb{R}\), không cần đk dương đúng không. Hôm qua thấy Thắng cmt nên chột dạ cho luôn \(x,y,z>0\)
Lời giải:
BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ngược dấu với hai số vẫn luôn đúng cho trường hợp số thực: \(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0\) \(\forall x,y\in\mathbb{R}\)
Giờ ghép cặp thôi:
\((3x+3y)(2x+2z)\leq \left(\frac{5x+3y+2z}{2}\right)^2\)
\((3x+3y)(2y+2z)\leq \left(\frac{5y+3x+2z}{2}\right)^2\)
\((x+z)(y+z)\leq \left(\frac{x+y+2z}{2}\right)^2\)
Bất kể vế trái có thừa số âm thừa số dương nhưng vì tích của \((x+y)(y+z)(z+x)>0\) nên khi nhân theo vế dấu không bị đổi, thu được:
\(47775744\leq (5x+3y+2z)^2(5y+3x+2z)^2(x+y+2z)^2\)
\(\leq \left(\frac{8x+8y+4z}{2}\right)^4(x+y+2z)^2\Rightarrow 2985984\leq (2x+2y+z)^4(x+y+2z)^2\)
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
\((x^2+y^2+z^2)\geq \frac{(x+y+2z)^2}{6}\)
\(4x^2+4y^2+z^2\geq \frac{(2x+2y+z)^2}{3}\)
Giờ thì tất cả đều dương rồi. AM-GM ba số:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(x+y+2z)^2}{6}+\frac{(2x+2y+z)^2}{6}+\frac{2x+2y+z)^2}{6}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y+2z)^2(2x+2y+z)^4}{6^3}}\geq 72\)
Bạn xem lại đề bài xem có sai sót hay thiếu điều kiện gì không?
bn nghĩ sao về GTNN=72 khi x=y=z-2=2
ta có thể sử dụng lagrange?
Chưa học Lagrange thì xin làm 1 cách khác vậy cho khỏi mang danh spam to miệng
Giải
Để \(\left\{\begin{matrix}x=y=2\\z=4\end{matrix}\right.\) khi đó ta được \(P_{min}=72\) và tất nhiên cần chứng minh nó
Thật vậy, ta cần chứng minh
\(5(x^2+y^2)+2z^2\geq72\left(\sqrt[3]{\frac{(x+y)(x+z)(y+z)}{144}}\right)^2\)
Suy ra bất đẳng thức cuối đúng cho các biến không âm
Đặt \(x+y=tz\). Khi đó \(x^2+y^2\geq\frac{1}{2}(x+y)^2\) và \((x+z)(y+z)\leq\frac{1}{2}(x+y+2z)^2\)
Vậy còn phải chứng minh \(\frac{5}{2}t^2+2\geq72\left(\sqrt[3]{\frac{\frac{t(t+2)^2}{4}}{144}}\right)^2\)
Hay \((5t^2+4)^3\geq9t^2(t+2)^4\)
Áp dụng BĐT C-S và AM-GM ta có:
\((5t^2+4)^3=\left(\frac{(5+4)(5t^2+4)}{9}\right)^3\geq\left(\frac{(5t+4)^2}{9}\right)^3\)
\(=\left(\frac{(3t+2(t+2))^2}{9}\right)^3\geq\left(\frac{\left(3\sqrt[3]{3t\cdot(t+2)^2}\right)^2}{9}\right)^3=9t^2(t+2)^4\geq0\) (đúng)
