Question

Xét ba số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 và \(x\le y\le z\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x}{y^3+16}+\dfrac{y}{z^3+16}+\dfrac{z}{x^3+16}\)

Answer 1

Chứng minh \(P\ge\dfrac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{x}{16}-\dfrac{x}{y^3+16}\right)\le\dfrac{1}{48}\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{xy^3}{y^3+16}\right)\le\dfrac{1}{3}\)

Mà ta có

\(\dfrac{x^3+8+8}{12}\ge x\)

\(\Leftrightarrow x\le\dfrac{x^3+16}{12}\)

\(\Rightarrow\sum\left(\dfrac{xy^3}{y^3+16}\right)\le\sum\left(\dfrac{xy^2}{12}\right)\)

Giờ chứng minh

\(xy^2+yz^2+zx^2\le4\)