Câu hỏi của Thai Hoc Bui

Question

cho x,y là hai số dương thỏa mãn x2+y2=1

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{x+y}{1+xy}$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$1=x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}$

$P\ge\frac{x+y}{1+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{4\left(x+y\right)}{4+\left(x+y\right)^2}$

Đặt $x+y=t\le\sqrt{2}\Rightarrow P=\frac{4t}{4+t^2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{4t}{4+t^2}\ge\frac{2\sqrt{2}}{3}\Leftrightarrow t^2-3\sqrt{2}t+4\le0$

$\Leftrightarrow\left(t-\sqrt{2}\right)\left(t-2\sqrt{2}\right)\le0$ (luôn đúng $\forall t\le\sqrt{2}$)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$Câu trả lời: $1=x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}$

$P\ge\frac{x+y}{1+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{4\left(x+y\right)}{4+\left(x+y\right)^2}$

Đặt $x+y=t\le\sqrt{2}\Rightarrow P=\frac{4t}{4+t^2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{4t}{4+t^2}\ge\frac{2\sqrt{2}}{3}\Leftrightarrow t^2-3\sqrt{2}t+4\le0$

$\Leftrightarrow\left(t-\sqrt{2}\right)\left(t-2\sqrt{2}\right)\le0$ (luôn đúng $\forall t\le\sqrt{2}$)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Violympic toán 9