Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwars ta có:
\(1=\left(x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}y\right)^2\le\left(x^2+1-x^2\right)\left(1-y^2+y^2\right)=1\).
Mà đẳng thức xảy ra nên ta phải có: \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}\)
\(\Leftrightarrow xy=\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\)
\(\Rightarrow x^2y^2=\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=1\).
Vậy...
cho x, y là hai số thực thỏa mãn : xy + \(\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\)=1
cm: \(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=0\)
Cho 3 số x y z thỏa mãn x+y+z=xyz.Cm:\(\dfrac{\sqrt{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}-\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+z^2}}{yz}+\dfrac{\sqrt{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}-\sqrt{1+z^2}-\sqrt{1+x^2}}{zx}+\dfrac{\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+z^2}}{yz}=0\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = xyz. Cmr:
\(A=\frac{\sqrt{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}-\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+z^2}}{xz}+\frac{\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}}{xy}=0\)
giúp mình
a) cho các số thực dương x,y , z thỏa mãn x+y+z=4 cmr ≥1
b) 1. cho x,y,z ϵR, chứng minh (x+y+z)\(^{^{ }2}\) ≤3(x\(^{^{ }2}\)+y\(^{^{ }2}\)+z\(^{^{ }2}\))
2.cho các số x,y,zlớn hơn 0thaor mãn x+y+z=12
tìm GTLN của biểu thức A=\(\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}\) +\(\sqrt{4y+2\sqrt{y}+1}\) +\(\sqrt{4z+2\sqrt{z}+1}\)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn : xyz=1.CMR:
\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{3}\)
Giúp mk với , mk sắp thi r...
Cho \(x,y\ge0\) thỏa mãn \(x+y=2\sqrt{3}.\)Tìm Max:
\(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)
Cho x,y >0 thỏa mãn: \(xy+\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=\sqrt{2018}\)
Tính \(Á=x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn : x + y + z=1. Tìm GTLN của biểu thức :
A= \(\sqrt{x^2+xyz}+\sqrt{y^2+xyz}+\sqrt{z^2+xyz}+9\sqrt{xyz}\)
Các bạn ơi giúp mik với ! mik dang cần gấp ạ !
Cho các số dương x,y z thỏa mãn:
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\)
\(x+y+z=2\)
Tính giá trị biểu thức P= \(\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\left(\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}+\dfrac{\sqrt{y}}{y+1}+\dfrac{\sqrt{z}}{z+1}\right)\)
Tìm các số x, y thỏa mãn đẳng thức:
a, \(x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\)
b, \(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
