Ta có: \(x \geqslant xy+1 \Rightarrow x-1 \geqslant xy\)
\( P = \dfrac{{3xy}}{{{x^2} + {y^2}}} = \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)y + 3y}}{{{x^2} + {y^2}}}\\ \le \dfrac{{3x{y^2} + 3y}}{{2xy}} = \dfrac{{3y\left( {x + 3} \right)}}{{2xy}}\\ = \dfrac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{2x}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{{2x}} \le 2.\dfrac{3}{2} = 3\\ \Rightarrow {P_{\max }} = 3 \)
Cho x,y >0 t/m 1/x +1/y + 1/xy =3.
Tìm GTLN của A= \(\dfrac{2}{\sqrt{3x^2+1}}+\dfrac{2}{\sqrt{3y^2+1}}\)
Cho x,y>0 thỏa mãn : \(x\ge xy+1\). tìm GTLN của \(P=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(xy+1\le x\). Tìm gtln của bt:
\(Q=\frac{x+y}{\sqrt{3x^2-xy+y^2}}\)
cho các số thực dương x,y,x thỏa mãn xy ≥ 1 và z ≥1
Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3\left(xy+1\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Cho x, y, z≥0 thỏa mãn x2+y2+z2+2xyz=1. Tìm GTLN của P=xy+yz+xz-2xyz
Cho x,y,z>0 thỏa mãn xy+yz+zx=1. Chứng minh \(\frac{x}{x^2-yz+3}+\frac{y}{y^2-zx+3}+\frac{z}{z^2-xy+3}\ge\frac{1}{x+y+z}\)
cho x,y là hai số dương thỏa mãn x2+y2=1. Tìm GTLN của P=xy+3x+3y
Chừng minh rằng với mọi x,y:
a) \(x^2+\frac{y^2}{4}\ge xy\)
b)\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
c)\(x^4+y^4\ge xy\)
Cho các số dương x, y, z. CMR:
\(\frac{xy}{x^2+yz+xz}+\frac{yz}{y^2+xy+xz}+\frac{xz}{z^2+xz+xy}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)
