Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Duy Cr

Cho x>0, y>0 thoã x+y≤1. Tìm GTNN của biểu thức

A=\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy\)

Nguyễn Xuân Tiến 24
2 tháng 11 2018 lúc 20:25

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy}+4xy+\dfrac{5}{4xy}\)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\left(a,b>0\right)\)(bn tự cm BĐT này) và BĐT cauchy ta có:

\(A\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}+2\sqrt{\dfrac{1}{4xy}.4xy}+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\)=

\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge4+2+5=11\)(vì x+y\(\le\)1)

Vậy Min A = 11 \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
dia fic
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Zenitisu
Xem chi tiết
nguyễn rose
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Võ Thị Kim Dung
Xem chi tiết
Nguyễn Hải An
Xem chi tiết
Linh Nhi
Xem chi tiết