Question

Cho x>0, y>0 thỏa điều kiện x+y=1

Tìm GTNN của A=\(\dfrac{3}{x^2+y^2}+\dfrac{4}{xy}\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(A=\frac{3}{x^2+y^2}+\frac{4}{xy}=3\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{5}{2xy}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}=4\)

Áp dụng BĐT Am-Gm: \(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{5}{2xy}\geq 10\)

Do đó: \(A\geq 3.4+10\Leftrightarrow A\geq 22\)

Vậy \(A_{\min}=22\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)