Question

Cho hai số thực x;y thỏa mãn điều kiện x>y và xy<0 Tìm GTNN của biểu thức

\(P=\left(x-y\right)^2+\left(x-y+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right)^2\)

@HUNG nguyen

Answer 1

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}x>y\\xy< 0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x>0>y\)

Đặt \(y=-z\left(z>0\right)\) thì ta có:

\(P=\left(x+z\right)^2+\left(x+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)^2\)

\(\ge\left(x+z\right)^2+\left(x+z+\dfrac{4}{x+z}\right)^2\)

Đặt \(x+z=a\) thì ta có:

\(P\ge a^2+\left(a+\dfrac{4}{a}\right)^2=2a^2+\dfrac{16}{a^2}+8\)

\(\ge8+2\sqrt{2a^2.\dfrac{16}{a^2}}=8+8\sqrt{2}\)

Dấu = xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x=z\\2a^2=\dfrac{16}{a^2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=z=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\\y=-\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\end{matrix}\right.\)