Question

Tìm GTNN của các biểu thức sau với x,y > 0

\(C=x+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}\)

\(D=x+\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)}\)

Answer 1

Lời giải:

Xét biểu thức C

Ta có: \(C=x+\frac{4}{(x-y)(y+1)^2}=x-y+y+\frac{4}{(x-y)(y+1)^2}\)

\(C=(x-y)+\frac{y+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{4}{(x-y)(y+1)^2}-1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\((x-y)+\frac{y+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{4}{(x-y)(y+1)^2}\geq 4\sqrt[4]{(x-y).\frac{(y+1)^2}{4}.\frac{4}{(x-y)(y+1)^2}}=4\)

\(\Rightarrow C\geq 4-1=3\Leftrightarrow C_{\min}=3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=2; y=1\)

Biểu thức D không có điều kiện gì thì không có min em nhé. Trừ khi \(D=x+\frac{1}{xy(x-y)}\)