Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Thị Khánh Huyền

Cho x, y, z dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\ge\sqrt{3}.\left(x+y+z\right)\)

Akai Haruma
16 tháng 7 2019 lúc 23:07

Lời giải:

Ta thấy:

\(x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2)=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\)

\(\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\) với mọi $x,y>0$
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(y+z); \sqrt{z^2+zx+x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+z)\)

Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn:

\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$


Các câu hỏi tương tự
NGUYỄN MINH HUY
Xem chi tiết
Con Bò Nguyễn
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
lê minh
Xem chi tiết
Trần Nam Dương
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
BTS - Nguồn Sống Của A.R...
Xem chi tiết
Anh Khương Vũ Phương
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Gia Hân
Xem chi tiết