Question

Cho x + 4y = 1 . Chứng mỉnh rằng \(x^2+4y^2\) lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{5}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1+4\right)\left(x^2+4y^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(x^2+4y^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(x^2+4y^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow5\left(x^2+4y^2\right)\ge1\Rightarrow x^2+4y^2\ge\dfrac{1}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{5}\)

Answer 2

x^2 +4y^2 >= 1/5 ta có x+4y=1 => x=1-4y

=> x^2 +4y^2-1/5 >=0

thay x=1-4y vào ta đk

1-8y+16Y^2 +4y^2 -1/5 >=0

20y^2-8y+4/5>=0

5(2y-2/5)>=0(luôn đúng )

suy ra đpcm