Áp dụng BĐT Cô - si cho các số không âm ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{y}-1}+4\left(\sqrt{y}-1\right)\ge4\sqrt{x}\\\frac{y}{\sqrt{x}-1}+4\left(\sqrt{x}-1\right)\ge4\sqrt{y}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{\sqrt{y}-1}+\frac{y}{\sqrt{x}-1}\ge4\sqrt{x}+4\sqrt{y}-4\sqrt{x}-4\sqrt{y}+8=8\)
Vậy GTNN của P là 8 khi \(x=y=2\)
Cho x,y,z > 0 thỏa mãn x+y+z =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = \(\sqrt{\frac{1}{x^2}+x^2}+\sqrt{\frac{1}{y^2}+y^2}+\sqrt{\frac{1}{z^2}+z^2}\)
Cho x,y,z là các số dương và xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{xz}+x}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn: x+y+z\(\le\)1
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
Cho biểu thức: P = (\(\frac{2}{\sqrt{xy}}\) + \(\frac{1}{x}\)+ \(\frac{1}{y}\)). \(\frac{\sqrt{xy}\left(x+y\right)-xy}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}\) (với x > 0; y > 0)
1. Rút gọn biểu thức P
2. Biết xy = 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
cho biểu thức M= \(\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{xy}-2y}\)-\(\frac{2x\sqrt{x}+4x}{x+\sqrt{x}-2\sqrt{xy}-2\sqrt{y}}\).\(\frac{x-1}{x+\sqrt{x}-2}\)
1) rút gọn M
2) tính M khi x=\(\sqrt{3}\)+1 y=\(\frac{2}{2+\sqrt{3}}\)
3) biết M = 1 .tìm giá trị nhỏ nhất của n=x\(^2y\)-2\(\sqrt{2}\)(3x+\(\sqrt{y}\))+2020
Cho x;y;z là các số thực thỏa mãn: \(\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\).
Tìm giá trị lớn nhất của P = \(\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}+\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}+\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\)
cho x;y là các số thực dương thỏa mãn x +y \(\ge3\) tìm giá trị nhỏ nhất của S = x+y+ \(\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\)
Giải hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{8}{3}\\x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{118}{9}\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}-\frac{1}{x\sqrt{x}}-\frac{1}{y\sqrt{y}}-\frac{1}{z\sqrt{z}}=\frac{728}{27}\end{matrix}\right.\)
